Əbülfəz Qədirqulu oğlu Əliyev (Elçibəy) 24 iyun 1938-ci ildə Naxçıvan MR-nin Ordubad rayonunun Kələki kəndində anadan olub.

7 illik Unuskənd məktəbini bitirdikdən sonra Ordubad şəhər 1 saylı orta məktəbində təhsilini davam etdirib. 1957-ci ildə Bakı Dövlət Universitetinin şərqşünaslıq fakültəsinin ərəb filologiyası şöbəsinə daxil olub. Buranı bitirdikdən sonra (1962) təyinatla SSRİ Hidrolayihə İnstitutunun Bakı şöbəsində tərcüməçi işləyib. 1963-cü ilin yanvarında Misir Ərəb Respublikasına göndərilən Əbülfəz bəy 1964-cü ilin okyabrına kimi Asuan bəndinin tikintisində tərcüməçi kimi çalışıb. Xarici ezamiyyətdən dönərək 1965-ci ildə BDU-nun aspiranturasına daxil olub və aspirantura təhsilini 1968-ci ildə uğurla tamamlayıb. "Tulunilər dövləti (868-905)" mövzusunda dissertasiya müdafiə edərək tarix elmləri namizədi alimlik dərəcəsi alıb (1969). BDU-nun "Asiya və Afrika ölkələri tarixi" kafedrasında müəllim və baş müəllim işləyib (1968-1975).

1975-ci ilin yanvarında Azərbaycan Dövlət Təhlükəsizlik Komitəsi onu tələbələr arasında millətçi və antisovet təbliğatı aparmaq adıyla həbs edir və 17 iyul 1976-cı ilədək siyasi dustaq olaraq azadlıqdan məhrum edir. Əsasən Qaradağ daş karxanasında ağır fiziki işlərə məhkum edilmişdir.

Həbsdən buraxıldıqdan sonra bir müddət işsiz qalır. 1976-cı ilin dekabrında AMEA Azərbaycan EA Əlyazmalar İnstitutunda kiçik elmi işçi kimi elmi fəaliyyətə başlayır. Sonralar böyük elmi işçi, şöbə müdiri, aparıcı elmi işçi elmi rütbə və vəzifələrə qədər yüksəlir.

1992-ci il iyunun 7-də prezident seçilən Əbülfəz Elçibəy bir il sonra Gəncədə başlayan hərbi qiyamdan sonra doğulduğu Ordubad rayonunun Kələki kəndinə gedib.

2000-ci ilin avqustun 22-də Türkiyədə xərçəng xəstəliyindən dünyasını dəyişən Əbülfəz Elçibəyin nəşi Bakıya gətirilərək Fəxri xiyabanda dəfn edilib.